我想，每一位家长，可能都曾在辅导数学作业时，内心经历过那么一点点“小崩溃”。我们怎么讲，孩子就是听不懂，或者不会做，今天邀请石家庄市东风西路小学的班主任白晓林老师，跟大家所分享如何用我们每个人天生就具备的“从故事里发现关系”的能力，用一种温暖而有效的方法，来学习数学，把这种能力在数学学习中把它唤醒、放大。

主持人：白老师，看到今天的主题，很多家长可能和我一样，既好奇又有点疑惑，“故事”和“模型”，它们怎么会联系在一起呢？

白晓林：我们先不急着谈“模型”这个听起来有点冰冷的词。我想先问大家一个问题：还记得您的孩子小时候，是怎么理解“多”和“少”的吗？是不是通过这样的对话？“宝宝，你看，爸爸有两颗糖，你有一颗糖，爸爸的糖比你的……？”“多！”对，就是这个“多”字。这个“多”，就是从“爸爸有两颗糖，你有一颗糖”这个生活小故事里，被孩子自己发现和感受到的。这，就是最原始、最生动的数量关系。我们学数学，不是要培养解题机器，而是要培养一个能看懂世界背后“数学故事”的、有逻辑、会思考的孩子。

主持人：孩子通过“演故事”理解了题意之后，我们下一步该引导他做什么呢？如何从这个生动的故事，过渡到您标题里说的那个“模型”呢？

白晓林：这就是最关键的一步了——帮助孩子提炼出“数量关系”。我们可以把它想象成在故事和算式之间，搭建一座叫做“关系”的桥梁。这座桥，能让孩子安全、顺畅地抵达答案的彼岸。我给大家介绍几个非常实用的小工具，也是搭建这座桥梁的“脚手架”。

脚手架一是 “说关系”。

在孩子完成故事表演之后，我们立刻向他提出一个关键的问题：“现在，如果你要用一句话来解释，怎样才能计算出整个队伍的总人数，你会怎么说呢？”我们鼓励孩子用自己的话来表达这个概念，比如：“队伍的总人数就是前面的5个人，再加上我自己，最后再加上后面的3个人。”或者更简洁明了地表达：“队伍的总人数等于前面的人数加上1再加上后面的人数。”

这一步骤是至关重要的，因为它标志着从具体的体验向抽象概念的转化。通过语言的表达，孩子能够将他们所经历的具象事件转化为抽象的语言描述。这种能力的培养是认知发展的关键，因为语言不仅仅是沟通的工具，更是思维的载体。当孩子能够清晰地用语言表达自己的想法时，这说明他们已经真正地理解了问题的本质。

例如，想象一下，如果孩子在玩一个角色扮演游戏，他们扮演的是一个探险队的队长。在这个游戏中，他们需要带领队伍穿越一个虚拟的森林。在这个过程中，他们可能会遇到各种各样的角色，比如其他探险者、动物或者神秘的生物。在游戏结束后，我们引导孩子回顾整个过程，并且让他们思考如何计算队伍的总人数。

通过这样的引导，孩子不仅学会了如何计算人数，更重要的是，他们学会了如何将实际体验与数学概念相结合。他们开始理解，无论是在游戏中还是在现实生活中，数学都是一个强大的工具，可以帮助我们解决问题和理解世界。通过将具体的体验转化为抽象的语言，孩子们的思维变得更加灵活和深刻。

脚手架二是 “画出来”。

数学的世界不仅仅局限于数字和算式，它还包括了丰富多彩的图形世界。对于那些稍微复杂一些的关系和问题，“画图”往往能成为解决问题的无敌法宝。通过图形，我们可以直观地看到问题的本质，从而找到解决问题的钥匙。

举个例子，：“哥哥有15元，哥哥比弟弟多3元，那么弟弟有多少钱？”这是一个简单的问题，但对孩子们来说，理解“多”和“少”的关系可能并不容易。很多孩子一看到“多”这个字，就会条件反射地使用加法，这实际上是错误的。那么，我们应该怎么办呢？这时候，我们可以借助画图的方法来帮助理解。

“来，我们画一条线段来代表哥哥的钱，画得长一些，因为他钱多。然后，在这条长线段的下面，我们再画一条稍微短一点的线段来代表弟弟的钱。现在，哥哥比弟弟多的那一部分，是哪一段？”（注意引导孩子用手指出来）

“对，就是这一小段，它代表了多少钱？”“3元！”

“那么，弟弟的钱，应该怎么用图形来表示？”“就是哥哥的长线段，减去这一小段！”

通过这样的画图过程，我们就能清晰地看到“哥哥的钱 - 多的钱 = 弟弟的钱”这个关系。图形作为一种非常直观的模型，帮助我们一目了然地理解了问题的实质。孩子们通过观察图形，可以更容易地掌握数学概念和解决问题的方法。

脚手架三是“找关键字”。

在数学问题的解决过程中，我们经常教导孩子们识别特定的关键字，比如“一共”通常意味着使用加法，“还剩”则意味着使用减法。这种方法在一定程度上是有帮助的，但不能完全依赖它。例如，在刚才提到的“哥哥比弟弟多3元”的问题中，关键字是“多”，但实际使用的却是减法。因此，关键字的识别需要结合“说关系”和“画出来”这两种方法一起使用，作为辅助判断的工具，而不是作为唯一的依据。

通过“找关键字”，孩子们可以更快地把握问题的核心，但只有将这些关键字与图形结合起来，孩子们才能更全面地理解问题，并找到正确的解决方法。总的来说家长在辅导时不再是直接看算式对不对，而是去关注他“理解故事-说出关系-画出图示”这个过程是否顺畅。这样看来，即便最后答案算错了，只要他关系说对了，图画对了，那也只是计算上的小失误，思维的大方向是对的！这让家长能更平和地看待孩子的错误。

我们要把关注点从“结果”转移到“过程”上来。这个过程，就是孩子数学思维在茁壮成长的过程。每一个能自己讲通数学故事的孩子，眼里都是有光的。

主持人：您再给我们讲讲“模型”是什么意思？对小学生来说，会不会太难了？

白晓林：大家千万别被“模型”这个词吓到。它不是指那些复杂的汽车模型或飞机模型。在小学数学里，“模型”就是一种思维的工具，一个通用的模板。它帮助我们把这世界上千千万万个不同的数学“故事”，进行分门别类地整理。冀教版的教材编排，有一个非常清晰的“模型化”脉络。如果我们家长心里能有一张“模型地图”，那么在辅导时就能知道孩子当前学的内容，在整个数学知识大厦中处于什么位置。我给大家介绍小学阶段最核心的四大数量关系模型。大家会发现，它们其实就在我们身边。

我们来看第一个，也是最基础的“部分——整体”模型，它是一切加减乘除的根源。到了高年级同样适用，而且不断“变身”。在一年级，它是“合并在一起”（加法）和“拿走一部分”（减法）。到了三年级学分数，“一块蛋糕吃了三分之一”，本质上还是在探讨“部分”与“整体”的关系。再到五年级学小数和百分数，“一件商品打八折”，就是求“整体”（原价）的“部分”（现价）。甚至解复杂的方程，如“x - 2/5 = 12”，我们运用的“移项”原理，背后依然是“整体=部分+部分”这个最朴素的模型。它是所有运算的基石。

具体来说对于一、二年级的孩子来说，数学就是“玩”和“做”。 比如学习“5以内的加减法”时，我会说：“请你的左手拿出2根小棒，这是一部分；右手拿出1根小棒，这是另一部分。现在，请你把这两部分‘合起来’，看看整体是多少？” 孩子们一边操作，一边说出“2和1合起来是3”。反过来，“老师有4个磁贴，这是整体，我拿走（或圈出）1个，这是一个部分，请问剩下的部分是多少？” 在这里，我会刻意地、反复地使用“部分”、“整体”、“合起来”、“去掉”这些词汇，让孩子的动作、语言和大脑中的概念建立强关联。加减法的符号“+”和“-”是在这个基础上，作为更简洁的“数学语言”引入的。

四年级是一个关键的转折点。学生的思维开始从具体形象向抽象逻辑过渡，我们的任务是帮助他们将零散的认识结构化。比如冀教版三年级接触到的“两步计算”问题。“果园里有苹果树125棵，梨树比苹果树少30棵，果园里一共有多少棵树？”这里的“整体”（总棵树）是由两个“部分”构成的，但其中一个“部分”（梨树的棵数）是未知的，它需要通过另一个“部分”（苹果树125棵）和一个“比较关系”（少30棵）先求出来。这就把“部分-整体模型”和“比较模型”巧妙地结合在了一起。

我会带着学生这样画： 1. 先画一条线段表示苹果树的125棵，标上“苹果树”。2. 再在下面画一条比它短一截的线段表示梨树，标上“梨树”，并明确标出“少30棵”。 3. 然后用一个大括号把苹果树和梨树的线段括起来，标上“？棵”。当这个图一画出来，学生就能“看见”思维的过程：要求“整体”，必须知道两个“部分”；现在一个部分未知，所以要先求那个未知的部分（梨树：125-30）。线段图将复杂的文字信息转化为了直观的图形结构，成为了学生思维的“脚手架”。

高年级的“部分-整体”模型进入了一个全新的境界。它往往不是以整数的形式出现，而是化身为“分数”、“百分数”和“比”，渗透在几乎所有复杂问题中。我们的教学重点在于“转化”和“综合”。认识分数“3/4”。我们绝不会仅仅说“把一张纸平均分成4份，取其中的3份”。我们会强调：一个整体（单位“1”），被平均分成了4份，每一份都是它的一部分（1/4），而我们取出的3份，是3个这样的部分，也就是这个整体的3/4。整个分数的意义，都建立在“部分-整体”模型之上。学生必须深刻地理解，分数表示的是“部分”与“整体”的一种关系。

核心思路是我们引导学生建立这样的模型思想：求一个数的几分之几是多少，就是求这个“整体”的“一部分”。 这本质上就是 “整体 × 部分率 = 部分量” 。所有的分数乘法应用题，都可以归结到这个模型里来寻找等量关系。

主持人： 第二个“模型”是什么？

白晓林：是“比较——倍数”模型（从“差”到“比”的思维飞跃）。这个模型孩子特别容易混淆，尤其是“比多比少”的判断。所以教材花了大量精力来搭建阶梯。在一二年级，核心是理解“差”，通过摆实物、画线段来建立“谁多谁少”的直观。例如，使用苹果和橘子的实物比较，孩子们可以直观地看到哪个更多，哪个更少。通过这样的活动，孩子们不仅学会了比较数量，还能够理解“差”的概念。

到了二三年级，出现“倍”的概念，这是一个质的飞跃，是从“加减”思维迈向“乘除”思维的关键一步。冀教版会让孩子用“圈一圈”的方式，深刻理解“一份”和“几份”的关系。比如，通过圈出一个苹果，然后圈出它的两倍数量，孩子们可以直观地看到倍数关系。

而到了五六年级，学习“比例”，比如地图上的比例尺、溶液的配制，这已经是“倍比”关系在更复杂情境下的应用了，是为中学的函数思想打基础。例如，孩子们可以通过测量地图上的距离和实际距离，来理解比例尺的概念，进而应用到实际问题中去。通过这样的学习，孩子们能够将比例和倍数的概念应用到现实生活中，比如在烹饪时调整食谱的分量，或者在购物时计算折扣。

主持人：第三个模型呢？

白晓林：是“公式——图形”模型（从“量”到“算”的空间智慧）。对于求面积、体积这类公式，很多孩子的学习方式就是死记硬背。教材为了避免孩子们死记硬背，强调“公式的再创造”。比如，探索“平行四边形的面积”。教材绝不会直接给出公式，而是会让孩子动手“剪一剪、拼一拼”，把平行四边形转化成一个已经学过的长方形。通过这样的操作，孩子们可以直观地看到平行四边形和长方形之间的关系。孩子在自己动手的过程中会惊呼：“哦！原来平行四边形的‘底’就是长方形的‘长’，平行四边形的高就是长方形的‘宽’！”于是，“面积=底×高”这个公式，不是老师告诉他的，而是他自已“发现”的真理。

这个过程，就是在构建关于图形测量的数学模型。孩子们通过这样的探索活动，不仅学会了计算面积，更重要的是理解了面积计算背后的数学原理。例如，在学习圆的面积时，孩子们可以通过将圆分割成许多小扇形，然后重新排列成近似长方形的形状，从而直观地理解圆面积的计算方法。

第四个是“函数——关系”模型。

主持人： 函数？这对小学生来说是不是太抽象了？

白晓林：我们不说“函数”这个词，但教材处处在渗透这种思想。比如，三年级“找规律”：一个爆竹1响，两个爆竹2响……让孩子填表，发现“爆竹个数”和“响声次数”之间的关系。通过这样的活动，孩子们可以直观地感受到数量之间的对应关系。再比如， “爸爸的年龄和小明的年龄”问题，让孩子感受“一个变，另一个也跟着变，而且变的方式是有规律的”。这其实就是函数的雏形——用联系的、变化的眼光看世界。它是所有数学模型中最有魅力、也最能体现数学威力的一个。通过这样的实际例子，孩子们可以逐渐理解变量之间的依赖关系，为将来学习更复杂的函数概念打下坚实的基础。例如，在学习温度变化对植物生长的影响时，孩子们可以记录不同温度下的植物生长数据，从而发现温度和植物生长速度之间的函数关系。

经过这么一梳理，小学六年的数学知识一下子就从一盘散沙，变成了脉络清晰的四大体系。家长心里有了这张“地图”，在陪伴孩子学习时，就能更好地帮他“把新知识挂到旧的知识树上去”，孩子的学习效率自然会大大提高，家长也能更好的帮助孩子建立起知识之间的联系，形成系统的数学思维，还能培养出解决问题的能力和创新思维。

主持人：理论我们都懂了，但家长最发愁的还是“实践”。家长朋友如何能不着痕迹地、甚至有趣地，来锻炼孩子的这种“建模”思维呢？

白晓林：家庭教育的关键，在于“潜移默化”和“真实参与”。我给大家提供几个可以无缝融入生活的“建模”微活动：

一是 “家庭财政部长”一日体验（综合应用“部分-整体”与“比较”模型）。具体怎么操作？让孩子管钱吗？当然。比如周末给家人做一顿饭。给孩子一笔真实的预算（例如100元），让他来规划。他需要思考：要做几菜一汤？（界定问题）家里已经有什么食材？（存量分析）需要采购什么？（清单梳理）去超市比较不同品牌、规格商品的价格，计算如何搭配才能在不超预算的前提下吃得最好。（优化决策）这个过程，完美复刻了一个完整的数学建模流程。通过这样的活动，孩子不仅学会了如何合理分配和使用资金，还能体会到数学在日常生活中的实际应用价值。

例如，假设孩子决定做一顿四菜一汤的晚餐。首先，他需要考虑家庭成员的口味偏好和营养均衡，决定菜单。然后，他要检查冰箱，看看家里已经有什么食材，避免重复购买。接下来，他需要列出一个购物清单，包括缺少的食材和调料。在超市，他要仔细比较不同品牌和规格的食材价格，比如比较新鲜蔬菜和冷冻蔬菜的价格，或者不同品牌的大米和食用油。

在进行价格比较时，孩子可以使用手机上的价格比较应用，或者询问超市工作人员获取优惠信息。他还可以考虑批量购买某些商品是否更划算，或者选择性价比更高的替代品。通过这些比较，孩子可以学习到如何在有限的预算内做出最经济的选择。

回到家后，孩子需要根据购买的食材来调整菜单，确保所有食材都能得到合理利用，避免浪费。在准备晚餐的过程中，孩子还可以学习到一些基本的烹饪技巧，比如如何切菜、炒菜和煮汤。通过实际操作，孩子能够理解数学模型在现实生活中的应用。

最终，当一家人围坐在餐桌前，享受孩子亲手准备的晚餐时，孩子会感受到成就感和自豪感。这种体验不仅让他学会了财务管理，还培养了他的责任感和家庭成员之间的合作精神。通过这样的“家庭财政部长”一日体验，孩子在玩乐中学习，将数学知识与现实生活紧密结合，为未来打下坚实的基础。

二是 “我是旅行设计师”（综合应用“路程——速度——时间”与“预算”模型）。

主持人：这个会不会有点复杂？

白晓林：我们可以将这个概念进一步微型化，具体到一个简单的周末活动——“周末郊区一日游”。首先，我们可以引导孩子使用手机地图应用，让他们亲自查询从家到目的地的具体距离。这不仅是一个简单的测量练习，更是一个实际应用地理知识和数字理解的过程。例如，他们可以学习如何解读地图上的比例尺，了解不同交通工具的行驶速度，以及如何将这些速度转换成实际的路程时间。

接下来，我们可以讨论出行方式的选择。是选择自驾还是乘坐公共交通工具？这涉及到对不同方案的速度和成本进行比较。例如，自驾可能更加快捷方便，但需要考虑油费和停车费；而公共交通虽然成本较低，但可能需要更长的时间，并且要考虑到班次的频率和时间表。通过这样的讨论，孩子可以学习如何根据实际情况做出最合适的决策。

在时间规划方面，我们可以让孩子尝试制定一个详细的行程表。他们需要决定每个景点停留多久，如何安排午餐时间，以及如何在有限的时间内最大化体验。这不仅锻炼了他们的时间管理能力，还让他们意识到在有限的时间内做出选择的重要性。

预算模型的建立也是这个活动中的重要一环。孩子需要预估午餐和门票的费用，这涉及到对价格的调查和计算。他们可以学习如何查找优惠信息，如何在预算范围内做出选择，以及如何处理突发的额外开销。通过这样的预算规划，孩子可以更好地理解金钱的价值和管理。

在这个过程中，孩子需要不断地在“时间”、“成本”、“体验”之间做出权衡。例如，他们可能发现为了节省时间而选择自驾，但这样会增加成本；或者他们可能为了节约成本而选择公共交通，但这样会牺牲一些时间。这种权衡是最高级的数学思维，它要求孩子综合考虑各种因素，做出最合理的决策。

通过这样的活动，孩子不仅能够学习如何规划和优化行程，还能深刻理解数学在解决实际问题中的重要性。他们将学会如何将抽象的数学概念应用到现实生活中，从而培养出解决实际问题的能力。这种能力不仅限于旅行规划，它还可以扩展到日常生活中的各种决策，比如家庭预算管理、时间安排等。通过实践和体验，孩子将能够更好地掌握数学知识，并在未来的生活中发挥其价值。

三是 “厨房里的科学家”（体验“比例”与“函数”模型）。

比如，和孩子一起烘焙。食谱上写着“面粉200克，糖50克，可以做10个饼干”。这时我们可以问他：“宝贝，如果今天我们想只做5个饼干，所有的材料应该怎么调整呢？”（正比例模型）或者，调一杯蜂蜜水，“如果觉得太甜了，是应该加水还是加蜂蜜？”（浓度与比例）这些都是在生活中感受变量之间关系的神奇时刻。通过这样的活动，孩子可以直观地理解比例和函数的概念，同时享受烹饪的乐趣。

主持人：数学不是试卷上的题目，而是解决真实问题、让生活变得更美好的强大工具。这些活动都是在轻松愉快的家庭环境中进行的，孩子们在不知不觉中就掌握了数学建模的思维和方法，这将对他们未来的学习和生活产生深远的影响。

白晓林：是的，最后我想跟家长朋友们说，在这个从“故事”到“模型”的旅程中，我们家长最重要的角色，不是“裁判”或“教授”，而是温暖的“陪伴者”。

请珍视孩子的“错误建模”。当孩子说“哥哥比我大3岁，所以10年后哥哥比我大13岁”时，别急着否定。这恰恰是探讨“年龄差不变”这个永恒模型的绝佳契机。错误，是思维正在生长的最美证明。每个错误都是孩子学习过程中的宝贵经验，是我们引导他们深入思考、探索真理的契机。请克制“直接给答案”的冲动。您的每一次“等等”，都是在为孩子的独立思考留出宝贵的生长空间。把“你应该用除法”换成“你觉得，这个问题和我们之前分糖果的故事像不像？”引导孩子自己发现问题的答案，而不是直接给出答案。请相信“陪伴”本身的力量。数学建模能力的培养，是一个缓慢而优雅的过程。它需要的不是您的学术水平，而是您耐心的倾听、用心的提问和真诚的鼓励。您每一次蹲下身来，和他一起画图、一起表演、一起争论，都是在为他未来的理性思维大厦，浇筑最坚实、最温暖的地基。

记者|陈若曦

编辑|王悦

责编|安倩

编审|吴晓飞

监制|冯慧杰

终审|边宇峰