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摘要：随着新课程理念的提出，“生本理念”的重要性在高中课堂教学中日益凸显。在高中数学人教A版教材的教学实践中，几何板块始终是学生学习的重灾区。在日常教学中，学生由于基础薄弱、空间想象力不足、理解困难而逐渐失去学习热情的现象。因此，探讨如何通过数形结合思想的应用，改善教学效果，结合具体实例，提出了实现“数”与“形”相互转化的有效策略，帮助学生克服对数学的恐惧，产生对数学学习的兴趣，提高解题能力，从而提升学习成绩。

关键词：高中数学；几何解题；“数”“形”结合；

一、数形结合思想对学生学习数学中核心素养的培养价值

《普通高中数学课程标准 日常修订版（2017年版2025年修订）》提出数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等六个方面。数形结合思想作为连接几何直观与代数运算的桥梁，有利于对学生核心素养的培养。在直观想象素养方面，数形结合可以将抽象的代数关系转化为可视化的图形语言，学生通过画图、识图、用图可以逐步培养几何直观能力。在数学抽象与逻辑推理素养方面，数形结合要求学生从图形中提取关键信息，将其转化为代数语言进行推理，再从代数的结果逆向推导几何意义。这一过程训练了学生从具体情境中抽象出数学本质的能力，同时培养了逻辑链条的完整性。

二、几何解题技巧之“数”“形”结合策略

“数”与“形”结合的关键在于通过抽象的“数”与直观的“形”相互转化，将复杂问题简化，具体为遇“数”思“形”。看到方程和公式时，主动联想到对应的图形特征（如看到

，能够想到圆心为（a，b）半径为r的圆）；见“形”想“数”，见到图形时主动提炼可以量化的数学信息。通过这种双向转化，将几何题从“抽象难题”转化为“直观易解”的问题，契合基础薄弱学生“以直观感知为主”的认知特点。

（一）以“数”解“形”：用代数运算突破几何直观的局限

当几何图形的性质难以直接观察，可通过建立坐标系、引入向量或方程，将几何问题转化为代数运算。

1.坐标系法

坐标法是解析几何的核心。在规则图形（如三角形、四边形、圆）涉及定点、定直线的问题时，可以建立合适坐标系，优先以对称中心、顶点、坐标轴为原点或轴，减少变量（如直角三角形可让直角边在坐标轴上）。转化几何元素为坐标，点的坐标为(x,y)，直线转化为方程

，圆转化为

，向量用坐标表示。用代数公式表达几何关系，距离可以表达为两点间距离公式、点到直线距离公式；角度可以表达为向量夹角公式

；直线平行等同于斜率相等、垂直等同于斜率乘积为-1，直线与圆相切等同于圆心到直线距离和半径相等。例如，已知圆C:

，点P(4,0)，过点P作圆C的切线，切点为A,B，求直线AB的方程。本题若采用纯几何法，需要利用圆心、切点、切线性质构造直角三角形，过程较为繁琐且容易出错。采用坐标系法则思路清晰、运算规范。设切点坐标为A

，则切线PA的方程为

。因为点P(4,0)在切线PA上，代入得

，解得

。将

代入圆方程

得

，即

。同理可得切点B(1,-3)。由两点式可得直线AB的方程为x=1。可直接得结果（无需几何作图分析）。

2.向量法

涉及平行、垂直、夹角、中点、线段比例的问题可以用向量运算简化几何论证。特别是对于一些规则的立体几何图形，如正方体、长方体、直棱柱等，通过建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算来解决问题非常简单[1]。核心思想是将几何元素用向量表示，通过向量的线性运算（加法、数乘）、数量积解决问题。平行向量

；垂直的

；长度的计算为

；中点的计算为向量（O为中点）。例，如图，在正方体

中，求证：

传统解法利用线面垂直的判定定理，证明AC垂直于平面

，再得出

学生难以理解线面垂直与线线垂直的关系。但如果用坐标系法来解决，就比较容易。首先以D为原点建立坐标系，

分别为x、y、z轴，设正方体棱长为1，写出各点坐标：

；转化为向量，向量

然后计算数量积，

；因为数量积为0，因此

（二）“数”“形”互补，避免单一视角的误区

数形结合解题法可以用简单直观的几何图形以及条件之间的位置关系表达数字关系，也可以用数字关系解释几何图形与条件之间的内在联系，使复杂的问题经数形转换后得到简化，从而起到优化解题路径的作用[2]。数形结合注意“形”的准确性，画图时需标注关键点（顶点、交点、极值点），避免因图像粗糙导致误判。警惕“数”的抽象性，代数运算后需回归几何意义验证还是几何（如定性分析）；然后建立联系将几何元素转化为代数符号，检查距离是否为正，角度是否在合理范围。“数”“形”结合的核心步骤，先判断问题更适合用代数（如坐标、向量）或代数表达式转化为几何意义（距离、斜率、图像）。通过刻意练习（如解析几何中多尝试坐标法与几何法对比，函数问题中主动联想图像），可逐步提升“数”“形”转化的敏感度，让复杂几何问题变得清晰可解，如求与圆

外切于点A(4,-1)且半径为1的圆的方程。解题时，可以建立坐标系，画出圆

，在坐标上标出两个圆的切点A(4,-1)，如图2，根据圆方程的定义，圆心

半径

。另外一个圆的半径为

，两个圆的圆心距等于两个半径之和

，根据数量关系，设所求圆的圆心

，则

结语：经过长期的坚持与实践，课堂氛围和学生学习状态变化明显，学生在课堂参与度明显提升，作业抄答案的现象大大减少。具体体现在选择题、填空题正确率大幅提高，解答题能够写出步骤解出答案，“大题空白”和“只抄题干”的现象基本消失。因此在高中数学教学中，在面对基础薄弱的学生时，教师应充分利用数形结合这一思想方法，在设计和实施教学时，挖掘“数”与“形”的内在联系，求新、求活、求近，并将三者统一起来，形成合力，发挥整体效益，让“数”“形”结合思想成为学生学习数学兴趣的直接发源地和激发器。

参考文献：

[1] 马明。高中数学立体几何问题的解题技巧 [J]. 数理天地 (高中版),2025 (17):59-60.

[2] 黎良琛。谈高中数学解析几何解题技巧教学策略 [J]. 数学学习与研究，2025 (17):58-61.

刘果

四川省峨边中学